為適應近代科學技術的發展以及大型工程技術的需要，人們提出了非傳統數學模型描述的廣義系統。信息傳遞等因素致使系統普遍存在滯后現象[1,2]，因而人們又提出滯后廣義系統[3,4]。滯后廣義系統的結構相當復雜[4]，既不同于無滯后的廣義系統，又不同于通常的滯后系統。

    H∞控制理論是魯棒理論的一個重要分支，近年來隨著無滯后線性系統H∞理論的日趨成熟和完善，滯后線性系統的H∞理論也得到了相應的發展[5,6]。但由于廣義滯后系統結構的復雜性，致使對滯后廣義系統的H∞控制問題的研究仍處于初級階段[4]。本文利用線性矩陣不等式方法，討論一般的廣義時滯系統H∞控制問題，給出了問題可解的一個充分條件以及控制器設計。

1 問題描述與預備知識
      
    考慮如下線性廣義時滯系統
     
                （1）

    其中：為系統的狀態變量，為控制輸入，為干擾輸入，為控制輸出， >0為滯后常數，為任一連續的滿足相容性條件的初始函數，各系數矩陣為適維常陣。特別地,=p<n。不失一般性，假設C_z，B₁和D₁都為零矩陣，否則可通過狀態擴維方式將系統（1）轉化為
    
    本文的目的是設計無記憶的狀態反饋
                                （2）
    其中為常陣，使得系統（1）與反饋控制器（2）構成的閉環系統
                        （3）
    滿足如下條件：1）內穩定；2）表示從干擾輸入W_(t)到被控輸出  Z_(t)的傳遞函數，>0為給定常數。

    設有滯后廣義系統

                        （4）

    其中：
     且連續，
                    （5）   

    在給出穩定性概念之前，還需引用如下記號：

   
   

        
 
   
    
   

   

   
    
   

                                 （9）
    其中，則系統（1）的H∞控制問題有解，即系統（3）內穩定，且滿足H∞范數界 
       
2主要結果
 
   

    證明 引理2中（7）的第二個不等式等價于下式
 
   

    則將引理1的結果應用于引理2即可得定理1。

    下面給出系統（3）內穩定且滿足H∞范數界，即的一個充分條件。

     
 
   

   

    證明 ,則將引理1中的結果應用到引理3即可證明定理2（證明略）。

    定理3若存在矩陣滿足如下矩陣不等式

     

     證明 使用兩次Schur補引理可將（8）式簡化成下列不等式
     
    

     將引理1的結果應用到引理4即可得定理3。

參考文獻

    [1]Hale J K. Theory of Functional Differential Equations[M].New York:Springer
Verlag,1977.

    [2]劉永清，唐功友.大型動力系統的理論與應用——卷三：滯后、穩定與控制[M].廣州：華
南理工大學出版社，1992.

    [3]Campbell S L. Singular Systems of Differential Equation[M].San Francisco:
Pitman,1980.

    [4]劉永清，謝湘生.大型動力系統的理論與應用——卷八：滯后廣義系統的穩定，鎮定與控制[M].廣州：華南理工大學出版社，1998.

    [5]Wen T, Yaling C. H∞-optimal control for descriptor systems[A]. Proc of 12th IFAC World Congress[C].Sydney,1993.2:201-204.

    [6]Masubuchi I,Kamitane Y,Ohara A,et al. H∞ control for descriptor systems:A matrix inequalities approach[J].Automatica,1997,33(1):669-673.

    [7]劉永清，王偉，李遠清.大型動力系統的理論與應用——卷七：滯后廣義系統解的基本理論與應用[M].廣州：華南理工大學出版社，1997.

    [8]曾建平，張怡，車玲.一類線性矩陣不等式可行解集的構造.Proceedings of the 24th
Chinese Control Conference[C].Guangzhou,P.R.China,2005.7:538-540.

    [9]馮俊娥，程兆林.線性廣義時滯系統的H∞狀態反饋控制器[J].控制與決策，2003，18（2）：159－163.

    廖勇，曾建平 （廈門大學自動化系，福建 廈門，361005）