高天國 （1963-）

男，畢業于哈爾濱工業大學精密儀器系，主要從事新產品開發與設計工作。


摘要：本文介紹了一種新型串并聯機床LINKS-EXE700的結構(Tripod機構)，該型機床具有更大的工作空間，更好的剛度性能。并對Tripod機構自由度進行了理論分析，給出了工作空間的求解流程圖，通過實例表明該型機床的工作空間較大，具有很好的應用前景。

關鍵詞：串并聯機床；自由度；工作空間

Abstract: This paper introduces the tripod system of the LINKSEXE 700 SerialParallel 
Kinematic Machine with more workspace and higher rigidity construction, and gives a 
theoretical analysis on the degree of freedom (DOF) of the tripod system and a solution
 flow chart for the workspace. The operating example shows that the SerialParallel 
Kinematic Machine has a large workspace and bright future in commercial applications.

Key words: serial－parallel machine tool; degree of freedom; workspace

1 引言

    串并聯機床屬于新型虛擬軸機床，它是將并聯機構和串聯機構進行合理的結合而成，是近年來世界上逐漸興起的一種新型結構機床［1,2］。哈爾濱量具刃具集團有限責任公司應用于瑞典艾克斯康（Exechon）公司最新技術（并聯機構Tripod）合作推出了一種全新結構的機床LINKS-EXE700（以并聯機構Tripod機構為核心開發的加工中心命名為LINKS-EXE700），該機床是一種典型的串并聯機床。它綜合了串聯機床和并聯機床的優點，克服了兩者的不足之處，它具有：剛度高、承載能力強、機構靈活度高、動態性能好、響應速度快、工作空間范圍大、重量輕、模塊化程度高、技術附加值高和結構簡單等很多突出的特點［3,4,5］。并引起了業內外人士的極大興趣和廣泛關注。這是一項立足于中國制造，運用國際先進技術資源，面向全球市場的最新一代串并聯機床，也是近年來我國在國際機床領域的一項重大突破。

2 LINKS-EXE700機床結構

    圖1為LINKS-EXE700型串并聯加工中心，該型加工中心的并聯部分分別由兩路TPR(虎克鉸-移動副-轉動副)支路和一路SPR(球鉸-移動副-轉動副)支路連接上方的定平臺和下方的運動平臺。在下平臺的中部安裝一串聯機構，兩關節皆為轉動副。

                                 圖1   LINKS-EXE700型加工中心

3 Tripod機構的自由度分析

    Tripod機構的簡圖如圖2所示。該機構包括并聯部分和串聯部分，并聯部分由定平臺和動平臺以及三個分支組成，其中有兩個分支的一端與定平臺用兩自由度虎克鉸連接，另一個分支的一端與定平臺用三自由度虎克鉸連接，三個分支的另一端分別與動平臺用轉動副連接，虎克鉸與轉動副之間是移動副；串聯部分由兩個軸線互相垂直的轉動副組成。

                               圖2   Tripod機構的機構簡圖

    在三維空間中，每個完全不受約束的剛體或構件有六個自由度，則 個剛體相對其中一個參照物共有6( -1)個自由度。當所有的剛體間用 個具有 自由度的運動副聯接起來時，該機構的自由度為：
                                                                (1)

    式中     F—機構的自由度；

             n—構件數；

             g—運動副數；

             fi—第i個運動副的相對自由度數。

    這就是著名的Kutzbach Grubler公式。

    對于Tripod機構的并聯部分n=8、g=9，則由式(1)計算得到并聯部分的自由度 。而實際情況是機構并聯部分的自由度是3，公式(1)失效。

    為了求出機構并聯部分的自由度，本文采取了一種簡單可行的方法，即按照機構的組合過程一步一步地進行分析。并聯部分的組合過程如圖3所示。

                               圖3   并聯部分的組合過程

    如圖3所示，當形成第一步的機構時，可以采用求平面機構自由度的公式求解，此時有5個活動構件，6個低副，代入公式算得的自由度為3；由第一步到第二步多了兩個轉動副，變成了空間機構，由于兩個轉動副的軸線重合，所以只引入了一個轉動自由度，此時機構的自由度變成了4；由第二步到第三步多了兩個購件，一個移動副、一個轉動副和一個三自由度虎克鉸，兩個不受任何約束的構件有12個自由度，移動副和轉動副各約束掉5個自由度，虎克鉸約束掉3個自由度，因此這一步引入的自由度為-1，整個并聯部分的自由度變成了3。

    顯然，串聯部分具有兩個自由度。因此，Tripod機構是一個具有五個自由度的串并聯機構。

4 Tripod機構的工作空間分析

    工作空間是指機床正常工作時，末端執行器在空間活動的最大范圍。工作空間從幾何方面描述機床的工作能力，是并聯機床性能的重要指標和進行機構設計、運動規劃的重要依據。工作空間研究的基本問題是給出某一結構形式和結構參數的機床，求其工作空間的大小和形狀。對于本文的機構，其工作空間的大小主要由運動平臺的運動空間決定，因此，本文主要分析運動平臺的可達空間。

    考慮到并聯機構位置逆解容易、正解難的特點，根據機構的位置反解方程，可采用快速極坐標搜索法進行工作空間邊界的搜索，然后根據工作空間邊界計算工作空間的體積。

4.1 機構工作空間的邊界搜索

    對于Stewart平臺機構以及由其演化而來的其它并聯機構的工作空間主要受以下幾個方面的限制^[6] ：

    (1) 各驅動桿長度的限制：并聯機構各驅動桿的長度變化范圍是有限的，這里用和來表示第桿的最大值和最小值，則桿長的約束可以用下式來表示
                                                                         (2)

    當某一桿長達到極限時，運動平臺上的給定的參考點也就到達了工作空間的邊界。

    (2) 運動副轉角的限制：連接上下平臺與各驅動桿的球鉸、虎克鉸以及轉動副的轉角范圍都要受到結構的限制，因此，在對機構進行工作空間分析時，必須考慮運動副的最大轉角。運動副的轉角是由與運動副的基座固結的坐標系的Z軸和表示與運動副連接的桿的向量來確定的。如圖4所示，li表示沿驅動桿方向的向量，nRi和nTi分別表示與各運動副的基座固結的坐標系Z軸方向的單位矢量。這樣，運動副的轉角約束條件可以用下式來表示

                                圖4   運動副轉角的約束
                                                         (3)
                                                        (4)

    式中，和分別是球鉸和虎克鉸的最大轉角。

    3) 桿間的相互干涉：因為連接上下平臺的連桿是有一定的尺寸大小的，因此，各桿之間有可能發生干涉。為了討論方便，這里假設各桿都是圓柱形的，其直徑為D，若Di為兩相鄰桿中心線之間的最短距離，那么，兩桿不發生干涉的條件為：
                                                                              (5)

    由于Tripod機構并聯部分只有三個驅動桿，桿間發生干涉的可能性很小，所以進行工作空間搜索時只需考慮桿長限制和運動副轉角限制兩個約束條件即可。工作空間搜索步驟如下：

    （1）給定機構基本結構參數，最大桿長、最小桿長、運動副最大轉角、。

    （2）令從開始以一定步長增長，在平面內，使用極坐標表示、，則，。為搜索極徑， 為極徑與x軸正向的夾角，且設逆時針方向為正。

    （3）給定一個值后，令從0以步長遞增，直至機構的各桿長及運動副的轉角超出所約束的極限值，輸出、、。此點即為平面內， 方向上工作空間的邊界點。

    （4）令，重復步驟(3)，直至搜索出平面內所有邊界點。的取值范圍為 0°~360°。

    （5）令直至 ，當確定一個 值后，重復(3)、(4)步，這樣就可確定出機構的整個工作空間邊界。工作空間搜索流程如圖5所示。

                                圖5   工作空間搜索流程圖

4.2 機構工作空間體積的計算

    工作空間的大小通常用其體積V的值來定量衡量。由于其工作空間是不規則的幾何形體，所以其體積無法用解析法精確的求得，只能通過數值方法來近似逼近。基本的思想是：先將工作空間用平行于XY平面的平面分割成若干厚度為的微分子空間，若足夠小，則這些子空間可近似看作高度為的柱體，將這些微分子空間的體積累加起來就近似等于機構工作空間的體積。

    每個微分子空間底面邊界上的任意一點P都可用極坐標來表示，則，。如圖6所示，設是微分子空間底面邊界上的起始點，然后給極角△一增量后，得到下一邊界點，如此進行下去，便可確定出此微分子空間底面的所有邊界點，依據這些邊界點可將微分子空間底面分成若干夾角為的形如扇形的微分子區域，若足夠小，則每個微分子區域的面積可借助扇形公式近似求得，即
     (  )                                           (6)  

    這樣每個微分子空間的體積可借助柱體的體積公式求得，即
    (  )            (7)

    于是機構工作空間的體積V可近似求得，即
    (  )              (8)

                               圖6   機構微分子工作空間截面

    由以上分析可知機構的工作空間體積的計算精確度與增量的大小有關，增量越小，計算結果越精確。但隨著增量的減小，計算量將成倍的增加，因此，確定增量的取值大小時，應考慮實際情況，適當選取。

    以LINKS-EXE700為例，其結構參數及運算過程中的搜索變量如下：
    ，
    ，，
    ，，
   
    
   
    ，
    ，
    ，
    經過運算，并利用MATLAB的圖形功能描繪出的機構工作空間的輪廓如圖7所示。

                               圖7   機構工作空間輪廓圖

    圖7是工作空間的三維立體圖和工作空間在XY平面上的投影圖。同時，經過運算得出機構的工作空間可達1431×109 mm3，查閱有關參考文獻可知，一般并聯機床的工作空間遠不及這個數值，如文獻[7]中的并聯機床的工作空間的體積為 0.607×109 mm3，這說明Tripod機構具有較大的工作空間。

5 小結

    本文介紹了LINKS-EXE700型串并聯加工中心的構型及特點，并根據機構的組合過程分析了機構的自由度，對LINKS-EXE700型串并聯加工中心工作空間的搜索算法進行了研究，并計算了工作空間的大小，總結了LINKS-EXE700型串并聯加工中心相對于其他并聯機構具有更大工作空間的原因。


參考文獻

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