（廈門大學信息與科學技術學院自動化系，福建 廈門 361005周 奇
                             
    周奇（1982-）男，湖南長沙人，現就職于廈門大學控制理論與控制工程研究所，主要研究方向為非線性反饋控制。

    摘要：針對帶有常量干擾和具有輸入飽和約束的直流電機模型，本文通過設計魯棒組合非線性反饋控制器，來提高電機速度控制的快速性和精確度。基本思想是在組合非線性反饋（Composite Nonlinear Feedback(CNF)）控制的基礎上加入干擾估計項和補償項，在消除系統由于干擾產生的穩態誤差的同時，保證了原組合非線性反饋控制響應快速及超調小的瞬態性能。

    關鍵詞：干擾；補償；非線性；伺服電機；魯棒組合非線性反饋

    Abstract: To achieve fast and accurate set-point tracking of DC motor with constant disturbance and input saturation constraint, in this paper, we design a robust composite nonlinear feedback controller. The basic idea is to add disturbance estimation and compensation into the framework of the original CNF control to eliminate the steady-state bias due to disturbances, and therefore this system retains the fast transient performance of the original CNF control.

    Key words: Disturbance; Compensation; Nonlinear; Servo systems; Robust composite nonlinear feedback

    直流伺服電機廣泛用于各種工業，如機床，線圈絡筒機，真空鍍膜機和自動焊接機等。常用的控制方法是PID控制，近年來，為了提高伺服電機的性能，出現了多種高級控制方法，例如：模糊控制[1]，魯棒控制[2-4]，和自適應控制[5-7]等。

    本文采用文獻[8]中提出的魯棒組合非線性反饋控制方法對帶有常量干擾的直流伺服電機模型進行控制。組合非線性反饋控制方法最早由Lin[9]提出，它的主要作用是提高具有輸入飽和約束的二階線性閉環系統的瞬態性能。在此基礎上，Chen[10]加入可測量的反饋項，使其可以用于更一般的帶有飽和輸入的系統（不含外部干擾）。當系統加入干擾的時候，組合非線性反饋控制器控制下的系統輸出不再漸近匹配參考輸入。實際上，伺服電機通常帶有干擾，例如摩擦和扭矩偏差所造成的外部干擾。針對該情況，在原有組合非線性反饋控制基礎上加入干擾估計項和干擾補償項，組成魯棒組合非線性反饋控制器[8]。

    本文首先介紹了魯棒組合非線性反饋控制方法的設計過程，然后介紹直流電機的電流模型，最后采用該控制方法設計直流電機速度控制的魯棒組合非線性反饋控制器。

    1 魯棒組合非線性反饋控制方法設計過程

    魯棒組合非線性反饋控制方法由Cheng和Peng[8]提出，為了文章的完整性，我們在這一節中簡單介紹魯棒組合非線性反饋控制方法。

    考慮帶有輸入飽和的系統，狀態方程如下：

    （1）

       分別表示系統狀態，

    控制輸入，可測輸出和受控輸出，以及系統外部干擾。A，B，

    C1，C2和E是系統常量矩陣。函數sat: R R表示飽和函數，定義如下：

    （2）

    umax是飽和函數的飽和值。系統滿足以下要求。

    ①（A，B）可鎮定。

    ②（A，C1）可觀測。

    ③（A，B，C2）可逆，s=0不是不變零點。

    ④ w是未知常量干擾。

    ⑤ h是y的子集。

      首先將常量干擾w當作系統的一個狀態變量
 
     （3）

    并假設w是未知的常量。系統(2)可擴展為

    （4）

    而其中可觀測。至此，魯棒組合非線性反饋控制問題便轉變成了一般組合非線性反饋控制問題[10]，其控制器設計過程如下所述：首先設計帶有干擾補償項的線性反饋部分。

    （5）

    滿足 ① A+BF是漸近穩定矩陣，② 閉環系統C2 (sI-A-BT)-1滿足期望的條件。筆者設計的一般是使其閉環極點中有一個主導極點，滿足較小的阻尼比，從而加快閉環系統的響應速度。

        （6）

    （7）

    然后設計非線性部分，給定正定對稱矩陣，解拉普洛夫方程

    （8）

    當（A+BF）為漸近穩定矩陣時候，方程有解。接著，定義

     （9）

    （10）

    （11）

    從而非線性反饋部分可描述為：

    （12）

      其中P(r,h)是|h-r|的一個非正的函數，用來改變閉環系統阻尼比，減少和消除線性反饋部分造成的超調。

    綜合線性反饋和非線性反饋兩部分，魯棒組合非線性反饋控制器：

    （13）

      注釋：文獻[8]證明了如下結論：對任意，令為滿足以下條件：

       （14）

      的最大標量。對于任意非正的函數p(r,h)，如果X。和 r 滿足
（15）
則組合非線性反饋控制器（13）和系統（1）構成的閉環系統是漸近穩定的，并且系統受控輸出能夠漸近跟蹤幅值為的階躍輸入。

                          

    2 直流電機魯棒非線性控制器設計

    2.1 直流電機模型

    根據直流電機模型的傳統定義，用下面的電氣方程和力學方程描述直流電機的動態模型

    （16）

    （17）

    其中， 和分別是轉子繞組電感和電阻， 電樞電流， 扭轉力， 常量轉子慣量粘性摩擦系數軸旋轉速度輸入電壓。單位一致的時候， 。定義狀態向量，控制輸入和控制輸出，
   

    
    可以得出直流電機的空間狀態模型，

    （18）

      并在此基礎上考慮扭矩偏差和摩擦產生的常量干擾，式（18）變為

    （19）

      其中 （20）

    直流電機的一組參數在表1中列出。假設輸入電壓限制在，直流電機的狀態空間方程變為

    （21）

    其中 ，矩陣A，B，C和E分別由（20）給出。

    2.2 魯棒CNF控制器設計

      下面給出直流電機速度控制系統（21）的魯棒CNF控制器設計過程，首先線性反饋增益F為
 
   容易驗證（A+BF）是穩定的，并去閉環系統的阻尼率為0.4472。因此，可以計算得到前饋增益


    所以魯棒CNF控制器線性反饋部分  

    非線性反饋部分為
    

      其中p.>0是方程
   
    的正定解， 。的選擇通常要滿足以下兩個要求：一方面，當控制輸出遠離設定值的時候，即的值很大， 選擇較小的值，非線性反饋部分作用相應就變小。另一方面，當控制輸出接近設定值的時候，即的值很小時， 的值應相應變大，從而加大非線性反饋部分對系統的影響。因此， 的選擇不是唯一的。在本文中選擇下面的函數

      （22）

    設定，得到。
確定F，G和P后，采用[11]中介紹的計算機輔助設計方法得到α=27和  β =7，
則從而我們可得到魯棒非線性反饋控制器

        
            
               （23）
其中         

                      
                                                （a）控制輸入
                       
                                                （b）受控輸出
                   圖1  當參考輸入r=100rad/s干擾w=250N*m的時候，系統控制輸入和受控輸出軌跡
                       
                                                        （a）控制輸入  

                         
 
                                                      （b）受控輸出
                    圖2  當參考輸入r=100rad/s干擾w=250N*m和w=1500N*m的時候，系
                                    統控制輸入和受控輸出軌跡
 
    仿真結果如圖1和圖2所示：當系統存在誤差扭矩干擾的時候，傳統反饋控制方法和一般組合非線性反饋控制方法都不能使輸出控制達到預定的跟蹤效果。但從圖1（a）中，我們可以得出在系統常量干擾為250N*m的情況下，普通的線性反饋控制和CNF控制都產生了穩態誤差。而魯棒組合非線性反饋控制使得控制輸出很好的跟蹤參考輸入，同時系統的上升時間為9.3Ms，超調為0.001%，控制輸出能取得較為理想的跟蹤效果。圖2表明魯棒組合非線性反饋控制在常量干擾為250N*m系統輸出的上升時間為9.3Ms，超調為0.001%，當常量干擾為1500N*m的時候，系統輸出的上升時間為7.5Ms，超調為0.3%，都表現出很優越的控制性能。

    3 結論

    魯棒組合非線性反饋控制在原有的組合非線性反饋基礎上加入干擾估計和干擾補償，不僅保留了原有控制方法的優點，還可以用于帶有干擾的系統。利用該方法控制輸入飽和系統，使得系統有更好的穩態性能和跟蹤性能。仿真和試驗結果都表明利用魯棒組合非線性反饋控制可以快速，準確解決伺服系統控制問題。

    因此用該方法控制帶有輸入飽和約束的系統可以大大提高系統的穩態性能和跟蹤性能。

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     摘自《自動化博覽》2010年第五期